درسنامه آموزشی فصل سوم هندسه (3) کلاس دوازدهم ریاضی
درس 1: معرفی فضای R3
با صفحه و دستگاه مختصات دو بعدی آشنایی داریم و میدانیم هر نقطه از صفحه دقیقاً توسط یک زوج مرتب مانند $(a,b)$ که $a,b \in \mathbb{R}$ مشخص میشود و هر زوج مرتب دقیقاً یک نقطه را مشخص میکند. با توجه به اینکه هر نقطه از صفحه را بهصورت زوج مرتب $(x,y)$ نمایش میدهند در این صورت مجموعه $\left\{ {(x,y)|x,y \in \mathbb{R}} \right\}$ شامل همه نقاط صفحه میباشد و آن را با ${\mathbb{R}^2}$ نمایش میدهند، یعنی:
${\mathbb{R}^2} = \left\{ {(x,y)|x,y \in \mathbb{R}} \right\}$
همچنین با معادله خط در صفحه آشنایی دارید و میدانید که حالت کلی آن بهصورت $ax + by = c$ است که در آن $a,b,c \in \mathbb{R}$ ($a$ و $b$ همزمان صفر نیستند).
بهطور کلی هر وقت گفته میشود رابطه یا معادلهای نمودار $G$ را مشخص میکند یعنی مختصات هر نقطه از نمودار $G$ در آن رابطه یا معادله صدق میکند و برعکس هر نقطه که مختصات آن در رابطه یا معادله مذکور صدق کند روی نمودار $G$ قرار دارد.
با توجه به آنچه گفته شد میخواهیم در ${\mathbb{R}^2}$ یا همان صفحه، با داشتن برخی روابط شکلهای متناظر با آنها را و یا برعکس با داشتن برخی شکلها، روابط مرتبط با آنها را مشخص نماییم.
کار در کلاس (صفحه 62 تا 63 کتاب درسی)
1- برای هر یک از روابط زیر ابتدا چند نقطه از صفحه که در آن رابطه صدق میکند را مشخص کنید و سپس شکل کلی مربوط به آن رابطه را تعیین نمایید.
|
الف) $x = 0$
|
ب) $y = 0$
|
پ) $x = 1$
|
|
ت) $x = 1\,\,\,\,,\,\,\,\, - 1 \leqslant y \lt 3$
|
ث) $y = {x^2}\,\,\,\,,\,\,\,\, - 1 \lt x \leqslant 2$
|
ج) $y = {x^2}\,\,\,\,,\,\,\,\,1 \leqslant x \leqslant 2$
|
|
چ) $ - 1 \leqslant x \leqslant 1\,\,\,\,,\,\,\,\, - 2 \leqslant y \leqslant 1$
|
ح) ${x^2} \lt y \leqslant 2$
|
خ) $y \geqslant {x^2}$
|
2- در هر یک از شکلهای زیر ابتدا مختصات چند نقطه از آن شکل را مشخص نمایید و سپس با توجه به ویژگیهای مشترک نقاط مشخص شده و ویژگیهای دیگری که از شکل دریافت میکنید رابطه مربوط به آن شکل را بنویسید.
|
الف)
|
ب)
|
|
پ)
|
ت)
|
حال به سراغ فضای ${\mathbb{R}^3}$ میرویم. ابتدا با مختصات یک تناظر بین مجموعه نقاط فضای ${\mathbb{R}^3}$ و مجموعه تمام سهتاییهای $(a,b,c)$ که در آن $a,b,c \in \mathbb{R}$ برقرار مینماییم و سپس ارتباط بین برخی معادلات (یا روابط) و شکلهای مربوط به آنها را بررسی خواهیم کرد. باید توجه داشته باشیم از آنجا که ما دستگاه مختصات سه بعدی را در صفحه (که خود دو بعدی است) رسم میکنیم لذا در این حالت برای تصویر بسته شکلها باید از قدرت تجسم خود کمک بگیرید.
معرفی فضای ${\mathbb{R}^3}$
مشابه ${\mathbb{R}^2}$ میتوان مجموعه تمام سهتاییهای مرتب $(x,y,z)$ که در آنها $x,y,z$ اعداد حقیقیاند را بهصورت زیر در نظر گرفت که به آن فضای ${\mathbb{R}^3}$ میگویند.
${\mathbb{R}^3} = \left\{ {(x,y,z)|x,y,z \in \mathbb{R}} \right\}$
به یاد میآوریم که برای نمایش نقاط ${\mathbb{R}^2}$ از یک دستگاه مختصات متشکل از دو محور عمود برهم $x$ها و $y$ها استفاده میشود. بهطور مشابه میتوان فضای ${\mathbb{R}^3}$ را نیز با استفاده از یک دستگاه مختصات متشکل از سه محور دو به دو عمود برهم که در نقطهای مانند $O$ متقاطعاند نمایش داد. این محل تقاطع، مبدأ مختصات دستگاه میباشد و فاصله در امتداد هر سه محور با یک واحد طول سنجیده میشود. وضعیت سه محور دو به دو عمود برهم شبیه به فصل مشترک دو دیوار و کف یک اتاق میباشد که در شکل دیده میشود و در واقع تشکیل یک کنج میدهند.
محورهای ${O_x}$، ${O_y}$ و ${O_z}$ به ترتیب محور $x$ها، محور $y$ها و محور $z$ها نامیده میشوند. محورهای فوق تشکیل دهنده سه صفحه میباشند. صفحات مختصات عبارتاند از صفحه $xy$ (کف اتاق) شامل محور $x$ها و $y$ها، صفحه $yz$ (دیوار سمت راست) شامل محور $y$ها و $z$ها، صفحه $xz$ (دیوار سمت چپ) شامل محور $x$ها و $z$ها هستند. جهت مثبت هریک از محورها با پیکان مشخص شده است. اگر محورها را از مبدأ مختصات (نقطه $O$) در خلاف جهت ادامه دهیم تا مقادیر منفی برای محورها ظاهر شوند آنگاه این دستگاه ${\mathbb{R}^3}$ به هشت ناحیه که چهار ناحیه آن بالای صفحه $xy$ و چهار ناحیه دیگر زیر صفحه $xy$ هستند تقسیم میشود. چهار ناحیه بالای صفحه $xy$ مطابق با شمارهگذاری استاندارد یک دستگاه ${\mathbb{R}^2}$ شمارهگذاری میشوند.
مثلاً ناحیهای که در آن مقادیر روی هر سه محور مثبت هستند ناحیه شماره 1 میباشد. به طریق مشابه چهار ناحیه پایین صفحه $xy$ از 5 تا 8 شمارهگذاری میشوند. شماره هر ناحیه و وضعیت محورها در شکلها و جدول زیر مشخص شدهاند.
برای نمایش سهتایی مرتب $({x_0},{y_0},{z_0})$ در دستگاه مختصات ${\mathbb{R}^3}$ کافی است ابتدا همانند شکل 1 نقطه $({x_0},{y_0})$ را در صفحه $xy$ بیابیم و سپس ارتفاع آن را به اندازه ${z_0}$ در راستای موازی با محور $z$ها (یعنی بهطور عمودی) تغییر دهیم تا شکل شماره 2 حاصل شود.
|
|
در واقع، میتوان سه نقطه به طولهای ${x_0},{y_0},{z_0}$ به ترتیب بر روی محورهای $x,y,z$ در نظر گرفت و سپس صفحه گذرنده از ${x_0}$ و موازی با صفحه $yz$، صفحه گذرنده از ${y_0}$ و موازی با صفحه $xz$ و صفحه گذرنده از ${z_0}$ و موازی با صفحه $xy$ را در نظر بگیریم. محل تقاطع این سه صفحه یک نقطه به طول ${x_0}$، عرض ${y_0}$ و ارتفاع ${z_0}$ است که نمایش دهنده سهتایی مرتب $({x_0},{y_0},{z_0})$ میباشد. مثلاً نقطهٔ نقطه $P$ در شکل زیر متناظر با سهتایی مرتب $(2,4,1)$ است.
|
|
|
همچنین نقطه $O$ که مبدأ مختصات است متناظر سهتایی مرتب $(0,0,0)$ میباشد.
دو نقطه $P = ({x_0},{y_0},{z_0})$ و $Q = ({x_1},{y_1},{z_1})$ را برهم منطبق گوییم و مینویسیم $P = Q$ هرگاه مختصات آنها نظیر به نظیر مساوی باشند یعنی ${x_0} = {x_1}\,,{y_0} = {y_1}\,,\,{z_0} = {z_1}$.
برای یافتن فاصله یک نقطه از ${\mathbb{R}^3}$ مانند $P = ({x_0},{y_0},{z_0})$ از مبدأ مختصات کافی است از نقطه $P$ عمودی بر صفحه $xy$ رسم کرده و پای عمود را $P'$ بنامیم. در این صورت با توجه به شکل زیر ازقضیه فیثاغورس طول پاره خط $OP'$ بهصورت زیر محاسبه میشود.
$\left| {OP'} \right| = \sqrt {x_0^2 + y_0^2} $
اکنون در مثلث قائمالزاویه $OPP'$ از قضیه فیثاغورس برای محاسبه طول وتر $OP$ استفاده میکنیم. پس داریم:
$\left| {OP} \right| = \sqrt {{{\left| {OP'} \right|}^2} + z_0^2} = \sqrt {x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} $
رابطه فوق را میتوان با توجه به شکل برای فاصله دو نقطه دلخواه از ${\mathbb{R}^3}$ مانند $P = ({x_0},{y_0},{z_0})$ و $Q = ({x_1},{y_1},{z_1})$ بهصورت زیر تعمیم داد.
$\left| {PQ} \right| = \sqrt {{{({x_0} - {x_1})}^2} + {{({y_0} - {y_1})}^2} + {{({z_0} - {z_1})}^2}} $
مثال: در این شکل اتاقی به طول 5 متر و عرض 4 متر و ارتفاع 3 متر مشاهده میشود. طول قطر این اتاق از یک گوشه آن به گوشه مقابلش چقدر است؟
$ = \sqrt {41 + {3^2}} = 5\sqrt 2 $ قطر اتاق $ = \sqrt {{4^2} + {5^2}} = \sqrt {41} \Rightarrow $ قطر مستطیل کف اتاق
حال که با دستگاه مختصات سه بعدی آشنا شدیم با داشتن برخی معادلات یا روابط به بررسی نمودارهای مربوط به آنها و یا برعکس، با داشتن برخی نمودارها به بررسی رابطه یا معادله مربوط به آنها میپردازیم.
قبلاً در کار در کلاس دیدیم که شکل مربوط به این معادله در ${\mathbb{R}^2}$ محور $y$هاست. حال میخواهیم تمام نقاطی از ${\mathbb{R}^3}$ را مشخص نماییم که مؤلفه اول آنها برابر صفر است، یعنی تمام سهتاییهایی بهصورت $(0,y,z)$ بهطوری که $y,z \in \mathbb{R}$. همانگونه که دیده میشود مقدار $y$ و $z$ هرچه باشد در صورتی که مؤلفه اول صفر باشد آن نقطه در معادله مذکور صدق میکند و به عبارتی برای یافتن نقاطی که در معادله $x = 0$ صدق میکنند در انتخاب مقادیر $y$ و $z$ آزاد هستیم. مثلاً نقاط $(0,1,2)\,,\,(0,0,0)\,,\,(0, - 3, - 1)$ و $(0, - 1,5)$ همگی در معادله صدق میکنند. تمام این نقاط در معادلهٔ $x = 0$ صدق میکنند و این همان صفحهٔ $yz$ است.
فعالیت (صفحه 67 کتاب درسی)
در مثال قبل دیدیم که نمودار مربوط به معادله $x = 0$ در ${\mathbb{R}^3}$ تمام نقاط صفحه $yz$ است (به عبارتی $x = 0$ معادله صفحه $yz$ است) و دیدیم که نقاط مختلفی با $y$ و $z$های دلخواه (مؤلفههای دوم و سوم دلخواه) وجود دارند که در این معادله صدق میکنند. حال اگر در بین تمام نقاط صفحه $yz$ به دنبال نقاطی باشیم که مؤلفه سوم آنها نیز برابر صفر باشد؛ یعنی علاوه بر $x = 0$ شرط $z = 0$ را نیز داشته باشیم چه شکلی خواهیم داشت؟ (با در نظر گرفتن صفحه $yz$ سعی کنید نقاطی از این صفحه را تصور کنید که برای آنها $z = 0$ باشد.)
1- مختصات چند نقطه را که در رابطه $\left\{ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
z = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ صدق کنند را مشخص کنید و مکان آنها را در دستگاه مختصات تعیین نمایید.
2- نمودار مربوط به معادلات $\left\{ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
z = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ چه شکلی است و چه ارتباطی با نمودار معادله $x = 0$ دارد.
نمودار $x = z = 0$ خط راستی است که بر محور $y$ها منطبق است. اما نمودار $x = 0$ صفحه $yz$ است. میدانیم محور $y$ها در صفحه $yz$ است. پس نمودار $x = z = 0$ در صفحه $x = 0$ قرار دارد.
کار در کلاس (صفحه 67 تا 68 کتاب درسی)
1- در دستگاه مختصات زیر شکل و معادله چند صفحه مشخص شده است. برای هر کدام از صفحات دو نقطه را مشخص کنید که در آن صفحه قرار دارند.
الف)
${P_1}:y = 3 \Rightarrow (1,3,2) \in {P_1},(0,3, - 2) \in {P_1}$
${P_2}:y = 1 \Rightarrow (4,1, - 2) \in {P_2},(5,1, - 3) \in {P_2}$
${P_3}:y = - 3 \Rightarrow (0, - 3,0) \in {P_3},(4, - 3,3) \in {P_3}$
ب)
${Q_1}:z = 3 \Rightarrow (1, - 1,3) \in {Q_1},(3,3,3) \in {Q_1}$
${Q_2}:z = 1 \Rightarrow (4,0,1) \in {Q_2},(5, - 2,1) \in {Q_2}$
${Q_3}:z = - 3 \Rightarrow (2,3, - 3) \in {Q_3},(1,2, - 3) \in {Q_3}$
پ)
${R_1}:x = 3 \Rightarrow (3, - 1,2) \in {R_1},(3,3,3) \in {R_1}$
${R_2}:x = 1 \Rightarrow (1,0,4) \in {R_2},(1, - 2,1) \in {R_2}$
${R_3}:x = - 3 \Rightarrow ( - 3,0,2) \in {R_3},( - 3,2,4) \in {R_3}$
2- وجههای مکعب مستطیل مشخص شده در شکل قسمتهایی از صفحات به معادلات $x = 1$، $x = 3$، $y = 1$، $y = 4$، $z = - 2$ و $z = 2$ هستند.
الف) مختصات سه نقطه را مشخص کنید که دقیقاً بر دو تا از وجه ها قرار دارند.
${P_1}:x = 1 \Rightarrow (1,2,1) \in {P_1},{P_2}:x = 3 \Rightarrow (3,2,1) \in {P_2}$
${P_3}:y = 1 \Rightarrow (2,1,1) \in {P_3},{P_4}:y = 4 \Rightarrow (2,4,1) \in {P_4}$
${P_5}:z = - 2 \Rightarrow (2,3,2) \in {P_5},{P_6}:z = 2 \Rightarrow (2,2,2) \in {P_6}$
ب) معادلات مربوط به هر یک از یالهای این مکعب مستطیل را بنویسید. (دقت کنید که یالها پارهخطاند و نه خط)
${P_1}:x = 1,{P_3}:y = 1 \Rightarrow (1,2,1)$
${P_1}:x = 1,{P_4}:y = 4 \Rightarrow (1,4, - 1)$
${P_2}:x = 3,{P_5}:z = - 2 \Rightarrow (3,3,2)$
پ) مختصات رأسهای این مکعب مستطیل را بنویسید.
$AB:x = y = 1;z \in \left[ { - 2,2} \right],CD:x = 1,y = 4;z \in \left[ { - 2,2} \right]$
$EF:x = 3,y = 1;z \in \left[ { - 2,2} \right],GH:x = 3,y = 4;z \in \left[ { - 2,2} \right]$
$AC:x = 1,z = 2;y \in \left[ {1,4} \right],BD:x = 1,z = - 2;y \in \left[ {1,4} \right]$
$FG:x = 3,z = - 2;y \in \left[ {1,4} \right],EH:x = 3,z = 2;y \in \left[ {1,4} \right]$
$AE:y = 1,z = 2;x \in \left[ {1,3} \right],BF:y = 1,z = - 2;x \in \left[ {1,3} \right]$
$DG:y = 4,z = - 2;x \in \left[ {1,3} \right],CH:y = 4,z = 2;x \in \left[ {1,3} \right]$
ت) روابط مشخص کننده یکی از وجههای مکعب را نوشتهایم. روابط مشخص کننده پنج وجه دیگر را شما مشخص کنید.
$\left\{ \begin{gathered}
1 \leqslant x \leqslant 3 \hfill \\
1 \leqslant y \leqslant 4 \hfill \\
z = 2\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$A(1,1,2)\,\,B(1,1, - 2)\,\,C(1,4,2)\,,D(1,4, - 2)$
$E(3,1,2)\,\,F(3,1, - 2)\,\,G(3,4,2)\,,H(3,4,2)$
ث) مختصات نقطهای را مشخص کنید که درون مکعب باشد و سپس مختصات نقطهای را بیابید که روی یکی از وجههای آن و غیر واقع بر یالها باشد.
${P_1}:x = 1;y \in \left[ {1,4} \right],z \in \left[ { - 2,2} \right]$
${P_2}:x = 3;y \in \left[ {1,4} \right],z \in \left[ { - 2,2} \right]$
${P_3}:y = 1;x \in \left[ {1,3} \right],z \in \left[ { - 2,2} \right]$
${P_4}:y = 4;x \in \left[ {1,3} \right],z \in \left[ { - 2,2} \right]$
${P_5}:z = - 2;x \in \left[ {1,3} \right],y \in \left[ {1,4} \right]$
${P_6}:z = 2;x \in \left[ {1,3} \right],y \in \left[ {1,4} \right]$
ج) شرط اینکه نقطهای درون یا روی یکی از وجههای این مکعب باشد چیست؟
نقطه $M(2,2,0)$ درو مکعب و نقطه $N(1,2,0)$ روی وجه ${P_1}$ قرار دارد.
چ) روابطی را بنویسید که مشخص کنندهٔ حجم محدود شده به وجههای مکعبِ داده شده باشند.
شرط آنکه نقطهی $M$ درون مکعب باشد این است که در هر سه شرط $1 \lt {x_M} \lt 3,1 \lt {y_M} \lt 4, - 2 \lt {z_M} < 2$ صدق کند. و شرط آنکه نقطهی $M$ روی مکهب باشد این است که در یک از شرایط بند (ث) این سوال صدق کند.
بردارها در ${\mathbb{R}^2}$
در سالهای گذشته با بردارها در صفحه آشنا شدید. هر پارهخط جهتدار مانند $AB$ در شکل مقابل، یک بردار را مشخص میکند که ابتدای آن $A$ و انتهای آن $B$ میباشد. این بردار را با $\overrightarrow {AB} $ و اندازه آن را با $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ نشان میدهند. اغلب جهت سهولت، بردارها را با حروف کوچک لاتین مانند $\overrightarrow a $ و اندازه طول آن را با $\left| {\overrightarrow a } \right|$ نمایش میدهند. در شکل زیر چند بردار مختلف رسم شدهاند. در این کتاب از هر دو شیوه نگارش، بسته به زمینه مورد بحث استفاده میگردد.
دو بردار را مساوی یا همسنگ گوییم هرگاه اندازه و جهت آنها یکسان باشند. با توجه به این تعریف لزومی ندارد که دو بردار مساوی از یک نقطه شروع شده باشند. در شکل زیر بردارها با هم مساوی هستند. همواره میتوان هر بردار را با برداری مساوی آن، که از مبدأ مختصات شروع میشود یکی دانست، چراکه جهت و اندازه آنها برابر است.
واضح است که میتوان بیشمار بردار دیگر که مساوی هستند را در صفحه درنظر گرفت. به این بردارهای برابر، در اصطلاح، بردارهای هم ارز گفته میشود.
برای سهولت معمولا برداری که ابتدای آن مبدأ مختصات باشد را به عنوان نماینده بردارهای همسنگ درنظر میگیرند. مثلاً در شکل زیر بردار قرمز رنگ نماینده همه بردارهای همسنگ $\overrightarrow a $ میباشد. به همین جهت معمولا ابتدای بردارها را مبدأ مختصات در نظر میگیرند.
با توجه به اینکه ابتدای بردارها را مبدأ مختصات در نظر گرفتهایم، مؤلفههای یکبردار با مختصات نقطه انتهایی آن برابر میشود. بنابراین هر نقطه از صفحه متناظر با یک بردار است و برعکس. از این رو هر بردار مانند $\overrightarrow a $ را با زوج مرتبی که انتهای بردار را مشخص میکند نمایش میدهند. یعنی $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2})$ که $({a_1},{a_2})$ مختصات انتهای بردار $\overrightarrow a $ میباشد.
از سالهای قبل به یاد میآوریم که جمع دو بردار $\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b $ از روش متوازی الاضلاع بهصورت زیر بهدست میآید و به آن برایند دو بردار $\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b $ میگویند.
و نیز اگر داشته باشیم $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2})$ و $\overrightarrow b = ({b_1},{b_2})$ میتوان نوشت:
$\overrightarrow a + \,\overrightarrow b = ({a_1},{a_2}) + ({b_1},{b_2}) = ({a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2})$
همچنین اگر $r \in \mathbb{R}$ و $\overrightarrow a $ یک بردار باشد، آنگاه بردار $r\overrightarrow a $ بهصورت زیر تعریف میشود:
$r\overrightarrow a = r({a_1},{a_2}) = (r{a_1},r{a_2})$
میتوان نشان داد دو بردار $\overrightarrow a $ و $r\overrightarrow a $ همواره باهم موازیاند و برعکس اگر دو بردار مانند $\overrightarrow a $ و $\overrightarrow b $ موازی باشند، آنگاه یکی از آنها مضرب دیگری است.
در شکلهای زیر وضعیت دو بردار $\overrightarrow a $ و $r\overrightarrow a $ در حالتهای مختلف نشان داده شدهاند.
بهطور خاص وقتی $r = - 1$ بردار $ - \overrightarrow a = ( - {a_1}, - {a_2})$ حاصل میشود که آن را قرینه بردار $\overrightarrow a $ مینامند. با توجه به تعریف قرینه یک بردار میتوان برای تفاضل دو بردار نوشت:
$\,\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + ( - \overrightarrow b ) = ({a_1},{a_2}) + ( - {b_1}, - {b_2}) = ({a_1} - {b_1},{a_2} - {b_2})$
بهنظر شما تعبیر هندسی تفاضل دو بردار به کمک جمع بردارها چگونه است؟
معمولاً مبدأ مختصات را به عنوان بردار صفر در نظر میگیرند و با $\,\overrightarrow O = (0,0)$ نمایش میدهند.
با توجه به اینکه ابتدای هر بردار مانند $\,\overrightarrow a = ({a_1},{a_2})$ را میتوان مبدأ مختصات در نظر گرفت، با استفاده از رابطه فاصله دو نقطه از صفحه، اندازه (طول) بردار $\overrightarrow a $ بهصورت زیر بهدست میآید.
$\,\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} $
بردارها، کاربردهای فراوانی در محاسبات مهندسی و نیز مدل سازیها دارند. بهطور نمونه بنا به گزارشات هوانوردی، بیشترین سوانح هوایی هنگام برخاستن و فرود هواپیماها رخ میدهد. یکی از سختترین شرایط فرود هنگامی است که باد شدید در جهتی اریب (غیر هم راستا) با خط فرود (مسیر باند فرود) میوزد. در این شرایط خلبان میبایست هواپیما را در جهتی قرار دهد که برایند نیروی محرکه هواپیما و نیروی باد در مسیر خط فرود قرار گیرد (به شکل زیر رجوع کنید). به این نوع نشستن هواپیما، فرود خرچنگی میگویند. بردارها برای مدلسازی وضعیت فرود هواپیما در چنین شرایطی بسیار مناسب میباشند. اکنون به مثال بعد در این رابطه دقت کنید.
|
|
|
|
|
|
|
|
پاسخ: در مورد وضعیت الف برایند بردارهای $\overrightarrow w $ (نیروی باد) و $\overrightarrow t $ (نیرو محرکه هواپیما) بهصورت زیر است.
|
الف - 3 
|
الف - 2 
|
الف - 1 
|
در مورد وضعیت ب برایند بردارهای $\overrightarrow w $ (نیروی باد) و $\overrightarrow t $ (نیرو محرکه هواپیما) بهصورت زیر است.
|
ب - 3 
|
ب - 2 
|
ب - 1 
|
معمولاً بردار به طول واحد در جهت محور $x$ها را با $\overrightarrow i $ و بردار به طول واحد در جهت مثبت محور $y$ها را با $\overrightarrow j $ نمایش میدهند. در شکل زیر بردار $\,\overrightarrow i = (1,0)$ و $\,\overrightarrow j = (0,1)$ و نیز بردار $\,\overrightarrow b = (2,3)$ بهصورت حاصل جمع مضاربی از $\overrightarrow i ,\,\overrightarrow j $ نمایش داده شدهاند. بهطور کلی میتوان هر بردار دلخواه مانند $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2})$ را بهصورت زیر نمایش داد.
$\overrightarrow a = ({a_1},{a_2}) = {a_1}(1,0) + {a_2}(0,1) = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j $
کار در کلاس (صفحه 73 کتاب درسی)
1- در این دستگاه مختصات چند بردار داده شده است.
الف) مختصات بردار $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ را یافته و آن را رسم کنید.
$\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3,5,2) + ( - 1,2) = (2,5,4)$
ب) قرینه بردارهای $\overrightarrow c $ و $\overrightarrow b $ را رسم کرده و مختصات آنها را بهدست آورید.
$\overrightarrow c = ( - 2, - 3) \Rightarrow - \overrightarrow c = ( + 2, + 3)$
$\overrightarrow d = ( + 2, - 3) \Rightarrow - \overrightarrow d = ( - 2, + 3)$
ج) مؤلفههای بردارهای $\overrightarrow a - \overrightarrow b $ و $\overrightarrow d - \overrightarrow c $ را یافته، آنها را رسم کنید و اندازه هر یک را بهدست آورید.
$\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + ( - \overrightarrow b ) = (3,5,2) + ( + 1, - 2) = (4,5,0) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4,5$
$\overrightarrow d - \overrightarrow c = \overrightarrow d + ( - \overrightarrow c ) = ( + 2, - 3) + ( + 2, + 3) = ( + 4,0) \Rightarrow \left| {\overrightarrow d - \overrightarrow c } \right| = 4$
د) هریک از بردارهای $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d $ ، $\vec a + \overrightarrow b $ ، $\vec a - \overrightarrow b $ و $\overrightarrow d - \overrightarrow c $ را برحسب بردارهای واحد $\overrightarrow i ,\overrightarrow j $ بهدست آورید.
$\overrightarrow a = (3/5,2) = 3/5i + 2j$
$\overrightarrow b = ( - 1, + 2) = - i + 2j$
$\overrightarrow c = ( - 2, - 3) = - 2i - 3j$
$\overrightarrow d = ( + 2, - 3) = 2i - 3j$
$\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2/5,4) = 2/5i + 4j$
$\overrightarrow a - \overrightarrow b = (4/5,0) = 4/5i$
$\overrightarrow d - \overrightarrow c = ( + 4,0) = 4i$
بردارها در ${\mathbb{R}^3}$
مشابه بردارهای بردارها در ${\mathbb{R}^2}$ میتوان به هر نقطه از بردارها در ${\mathbb{R}^3}$، برداری که از مبدأ شروع میشود نظیر کرد. مثلاً فرض کنید $A = ({a_1},{a_2},{a_3})$ نقطهای غیر از مبدأ ${\mathbb{R}^3}$ باشد. در اینصورت پارهخط جهت داری که از مبدأ مختصات یعنی $O = (0,0,0)$ شروع شده و در نقطه $A$ پایان مییابد یک بردار در ${\mathbb{R}^3}$ را مشخص میکند و آن را با $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2},{a_3})$ نشان میدهیم. در بردار $\overrightarrow a $ مقادیر ${a_1}$، ${a_2}$ و ${a_3}$ را مؤلفههای بردار $\overrightarrow a $ میگویند. همچنین قرارداد میکنیم که مبدأ مختصات یعنی $O = (0,0,0)$ نمایشگر بردار $\overrightarrow O = (0,0,0)$ است که بردار صفر نامیده میشود. به عنوان مثال در شکل زیر، چند بردار در ${\mathbb{R}^3}$ نمایش داده شده است.
طول بردار در ${\mathbb{R}^3}$
با توجه به رابطه فاصله دو نقطه از ${\mathbb{R}^3}$، طول هر بردار مانند $\overrightarrow a \,\,({a_1},{a_2},{a_3})$ در ${\mathbb{R}^3}$ از رابطه زیر بهدست میآید.
$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $
حاصل جمع دو بردار در ${\mathbb{R}^3}$
حاصل جمع دو بردار $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2},{a_3})$ و $\overrightarrow b = ({b_1},{b_2},{b_3})$ بهصورت زیر تعریف میشود که به آن بردار برایند نیز میگویند.
$\overrightarrow a + \overrightarrow b = ({a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2},{a_3} + {b_3})$
این شکل بردارهای $\overrightarrow a $ ، $\overrightarrow b $ و $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ را در دستگاه ${\mathbb{R}^3}$ نشان میدهد.
همانطور که از شکل زیر پیداست برای هر دو بردار غیرصفر $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ میتوان روش متوازیالاضلاع را در صفحهای که از آن دو بردار میگذرد به کار برد و بردار برایند $\overrightarrow a + \overrightarrow b $ را یافت.
برای هر عدد حقیقی $r$، حاصل ضرب $r$ در بردار $\overrightarrow a $ را بهصورت زیر تعریف میکنند.
$r\overrightarrow a = r({a_1},{a_2},{a_3}) = (r{a_1},r{a_2},r{b_3})$
این شکل دو بردار $r\overrightarrow a ,\overrightarrow a $ که در آن $r \gt 1$ را نشان میدهد.
این راستای $r\overrightarrow a ,\overrightarrow a $ با هم متفاوتاند؟
بهطور خاص بردار $ - 1\overrightarrow a $ را که با $ - \overrightarrow a $ نشان میدهند قرینه $\overrightarrow a $ میگویند یعنی $ - \overrightarrow a = ( - {a_1}, - {a_2}, - {a_3})$ . این بردار هم اندازه با $\overrightarrow a $ (چرا؟) ولی در خلاف جهت آن میباشد. اکنون تفاضل بردار $\overrightarrow b $ از $\overrightarrow a $ یعنی $\overrightarrow a - \overrightarrow b $ را بهصورت زیر تعریف میکنیم.
$\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + ( - \overrightarrow b ) = ({a_1} - {b_1},{a_2} - {b_2},{a_3} - {b_3})$
در شکل بردارهای $\overrightarrow a ,\overrightarrow b $ و قرینه آن و نیز $\overrightarrow a - \overrightarrow b $ نمایش داده شدهاند.
کار در کلاس (صفحه 74 کتاب درسی)
نقاط $B = ( - 1,2,2)$ و $A = (2,3,1)$ و $D = (1,0, - 1)$ و $C = (3,4,0)$ را در یک دستگاه ${\mathbb{R}^3}$ در نظر بگیرید، اگر $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c ,\overrightarrow d $ بردارهایی در ${\mathbb{R}^3}$ با نقاط انتهایی به ترتیب $A,B,C,D$ باشد آنگاه آنها را در دستگاه فوق نشان دهید و هریک از بردارهای زیر را بهدست آورید.
$(2,3,1) + ( - 2,4,4) = (0,7,5)$$\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = $
$(2,3,1) + \left[ {( - 1,2,2) + (3,4,0)} \right] = (2,3,1) + (2,6,2) = (4,9,3)$$\overrightarrow a + (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = $
$\left[ {(2,3,1) + ( - 1,2,2)} \right] + (3,4,0) = (1,5,3) + (3,4,0) = (4,9,3)$$(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) + \overrightarrow c = $
$ - 2\left[ {( - 1,2,2) + (3,4,0)} \right] = - 2(2,6,2) = ( - 4, - 12, - 4)$$ - 2(\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = $
$ - 2( - 1,2,2) - 2(3,4,0) = ( + 2, - 4, - 4) + ( - 6, - 8,0) = ( - 4, - 12, - 4)$$ - 2\overrightarrow b - 2\overrightarrow c = $
خواص جمع بردارها
در کار در کلاس قبل درستی برخی روابط و اعمال بین بردارها را بررسی کردیم. بهطور کلی اگر $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ سه بردار دلخواه و $\overrightarrow O = (0,0,0)$ بردار صفر و نیز $r$ و $s$ دو عدد حقیقی باشند روابط زیر همواره برقرارند.
1- $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a $ (خاصیت جابهجایی جمع)
2- $\overrightarrow a + (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = (\overrightarrow a + \overrightarrow b ) + \overrightarrow c $ (خاصیت شرکتپذیری در جمع)
3- $\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a = \overrightarrow O $ (عضو قرینه)
4- $\overrightarrow a + \overrightarrow O = \overrightarrow O + \overrightarrow a = \overrightarrow a $ (عضو خنثی)
5- $r(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = r\overrightarrow a + r\overrightarrow b $
6- $(r + s)\overrightarrow a = r\overrightarrow a + s\overrightarrow a $
7- $(rs)\overrightarrow a = r(s\overrightarrow a )$
8- اگر $\overrightarrow b = r\overrightarrow a $ آنگاه $\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| r \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$ ($\left| r \right|$قدر مطلق $R$ است)
بردارهای یکه
با بردارهای یکه $\overrightarrow i ,\overrightarrow j $ در صفحه ${\mathbb{R}^2}$ به ترتیب در جهت محور $x$ها و $y$ها آشنا شدید. بهطور مشابه در ${\mathbb{R}^3}$ بردارهای زیر را با طول واحد در جهت محورهای مختصات ${\mathbb{R}^3}$ در نظر میگیرند.
$\overrightarrow i = (1,0,0)\,,\,\overrightarrow j = (0,1,0)\,,\,\overrightarrow k = (0,0,1)$
به این ترتیب $\overrightarrow i $ بردار یکه در جهت محور طولها، $\overrightarrow j $ بردار یکه در جهت محور عرضها و $\overrightarrow k $ بردار یکه در جهت محور ارتفاعها میباشند.
همچنین با استفاده از روابط بین بردارها به سادگی میتوان نشان داد که هر بردار مانند $\overrightarrow a = ({a_1},{a_2},{a_3})$ بهصورت ترکیبی از بردارهای یکه $\overrightarrow i $ ، $\overrightarrow j $ و $\overrightarrow k $ قابل بیان است. در واقع داریم:
$\overrightarrow a = ({a_1},{a_2},{a_3}) = {a_1}(1,0,0) + {a_2}(0,1,0) + {a_3}(0,0,1) = {a_1}\,\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k $
مثال: بردار $\overrightarrow a = (\frac{1}{2},3,2)$ را برحسب بردارهای یکه $\overrightarrow i $ ، $\overrightarrow j $ و $\overrightarrow k $ نشان دهید.
$\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k $
تمرین (صفحه 76 کتاب درسی)
1- چهار نقطه در دستگاه مختصات زیر مشخص شدهاند.
الف) معادلات مشخص کننده سطح محدود شده به چهارضلعی $ABCD$ را بنویسید.
$A(2,1,3),B( - 1,1,3) \Rightarrow AB:(y = 1,z = 3; - 1 \leqslant x \leqslant 2)$
$B( - 1,1,3),D( - 3, - 1,3) \Rightarrow BD:(y = x + 2,z = 3; - 3 \leqslant x \leqslant - 1)$
$D( - 3, - 1,3),C(2, - 1,3) \Rightarrow DC:(y = - 1,z = 3; - 3 \leqslant x \leqslant 2)$
$A(2,1,3),C(2, - 1,3) \Rightarrow AC:(x = 2,z = 3; - 1 \leqslant y \leqslant 1)$
ب) معادلات یکی از سطوحی که با سطح $ABCD$ هم مساحت و موازی هستند را بنویسید.
$A'(2,1,0),B'( - 1,1,0) \Rightarrow A'B':(y = 1,z = 0; - 1 \leqslant x \leqslant 2)$
$B'( - 1,1,0),D'( - 3, - 1,0) \Rightarrow B'D':(y = x + 2,z = 0; - 3 \leqslant x \leqslant - 1)$
$D'( - 3, - 1,0),C'(2, - 1,0) \Rightarrow D'C':(y = - 1,z = 0; - 3 \leqslant x \leqslant 2)$
$A(2,1,0),C(2, - 1,0) \Rightarrow A'C':(x = 2,z = 0; - 1 \leqslant y \leqslant 1)$
2- نقاط با مختصات $P = (1,0,1)$ ، $Q = (0, - 1, - 2)$ ، $R = (3,0, - 1)$ و $S = ( - 2, - 2, - 2)$ را در یک دستگاه مختصات نمایش دهید.
3- در سؤال قبل طول پارهخطهای $PQ$، $RQ$ و $PS$ را بیابید.
$PQ = \sqrt {{{({x_Q} - {x_r})}^2} + {{({y_Q} - {y_r})}^2} + {{({z_Q} - {z_r})}^2}} \Rightarrow $
$PQ = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{( - 1 - 0)}^2} + {{( - 2 - 1)}^2}} = \sqrt {1 + 1 + 9} = \sqrt {11} $
$RQ = \sqrt {{{({x_Q} - {x_R})}^2} + {{({y_Q} - {y_R})}^2} + {{({z_Q} - {z_R})}^2}} \Rightarrow $
$RQ = \sqrt {{{(0 - 3)}^2} + {{( - 1 - 0)}^2} + {{( - 2 + 1)}^2}} = \sqrt {9 + 1 + 1} = \sqrt {11} $
$PS = \sqrt {{{({x_S} - {x_r})}^2} + {{({y_S} - {y_r})}^2} + {{({z_S} - {z_r})}^2}} \Rightarrow $
$PS = \sqrt {{{( - 2 - 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{( - 2 - 1)}^2}} = \sqrt {9 + 4 + 9} = \sqrt {22} $
4- فرض کنید $P = (x,y,z)$ و $Q = ({x_1},{y_1},{z_1})$ . مختصات نقطه $M$ وسط پارهخط $PQ$ بیابید.
${x_M} = \frac{{{x_P} + {x_Q}}}{2},{y_M} = \frac{{{y_P} + {y_Q}}}{2},{z_M} = \frac{{{z_P} + {z_Q}}}{2} \Rightarrow $
$M\left( {\frac{{{x_P} + {x_Q}}}{2},\frac{{{y_P} + {y_Q}}}{2},\frac{{{z_P} + {z_Q}}}{2}} \right)$
5- در هر کدام از حالات زیر بردار خواسته شده را بیابید.
الف) $\overrightarrow a = ( - \frac{1}{3},0,2)$ ، $\overrightarrow b = (\sqrt 2 ,1,1)$ ، $r = 3$ ، $r\overrightarrow a - \overrightarrow b = ?$
$r\overrightarrow a - \overrightarrow b = 3\left( { - \frac{1}{3},0,2} \right) - (\sqrt 2 ,1,1) = ( - 1,0,6) - (\sqrt 2 ,1,1) = (\sqrt 2 - 1, - 1,5)$
ب) $\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow j - \overrightarrow k $ ، $\overrightarrow b = (3,1, - 1)$ ، $r = - 1$ ، $r\overrightarrow a + \overrightarrow b = ?$
$r\overrightarrow a + \overrightarrow b = - 1(3,2, - 1) + (3,1, - 1) = ( - 3, - 2, + 1) + (3,1, - 1) = (0, - 1,0)$
ج) $\overrightarrow a = \sqrt 2 \overrightarrow i - \overrightarrow k $ ، $\overrightarrow b = 3\overrightarrow j + \overrightarrow k $ ، $\overrightarrow a + \overrightarrow b = ?$
$\overrightarrow a + \overrightarrow b = (\sqrt 2 ,0, - 1) + (0,3,1) = (\sqrt 2 ,3,0)$
د) $\overrightarrow a = 5\overrightarrow k + \overrightarrow j $ ، $\overrightarrow b = - \overrightarrow k + \overrightarrow i $ ، $r = \frac{1}{5}$ ، $r\overrightarrow a + \overrightarrow b = ?$
$r\overrightarrow a + \overrightarrow b = \frac{1}{5}(0,1,5) + (1,0, - 1) = (0,\frac{1}{5},1) + (1,0, - 1) = (1,\frac{1}{5},0)$
6- طول بردار $\overrightarrow a $ را در هر یک از حالات سؤال قبل بیابید.
$\overrightarrow a = \left( { - \frac{1}{3},0,2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} = \sqrt {\frac{{37}}{9}} = \frac{{\sqrt {37} }}{3}$ (الف
$\overrightarrow a = \left( {3,2, - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt {14} $ (ب
ج) $\overrightarrow a = \left( {\sqrt 2 ,0, - 1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 3 $
د) $\overrightarrow a = \left( {0,1,5} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {5^2}} = \sqrt {26} $